學習方法 – 分母為何不可以是零?

分母(或者除數)不可以為零,可說是人盡皆知的常識。然而,當深入地問「為什麼分母不可以為零」?最多人的回答是「不知道,只知道老師說分母為零無意義」;好一些的回答則是「除法可以視為平分東西給人,而分給零個人無意義」。後者是學生在小學階段剛開始學習除法時用以理解除法含義的方式,這回答當然沒有錯。然而若再繼續往下問「那要如何解釋除以-2或者除以√3的意義」時,學生卻都回答不出來了。

筆者在這裡提供另外一個解釋方式,讓學生對於「分母為零無意義」這件事能夠有更深的體會。
首先我們要知道兩件事:

  1. 任何一個數字,例如√7、2/3或者log⁡5,都代表一個明確的「數量」
  2. 除法是乘法的反運算(註1)。

一個明確的「數量」?

人類的數字概念從正整數開始萌芽,隨著四則運算的逐步發展,開始發現正整數不足以表達生活中所有可能遇到的數量。例如六顆蘋果平分給三個人吃,我們知道每個人可以分到兩顆蘋果;如果吃完之後覺得不夠,再拿一顆西瓜出來平分,每個人能吃到多少西瓜?這個時候我們沒有任何整數可以表達這個數量了。但這個數量是明確存在的,而且我們很清楚它的大小。如果第二天我們再拿兩顆同樣大小的西瓜,平分給和第一天相同的三個人,我們知道每個人第二天吃的西瓜比第一天多,而且合起來每個人都吃了一顆西瓜。

  1. 這是一個明確的「數量」
  2. 這些數可以比大小,可以加減等運算。

於是我們使用1/3和2/3這兩個符號來表達這兩天每個人吃的西瓜數量。有理數就是這樣誕生的。事實上,數系的每一次擴張(註2),也都是伴隨著類似的過程。

回到原主題,如果分母為零,會發生什麼事呢?這要分成「分子不為零」和「分子為零」兩個部份來討論了。

分子不為零

首先我們看「分子不為零」的狀況。就以1/0來舉例吧,它應該是多少呢?假設1/0=k,由於除法是乘法的反運算,我們必須要使1=k×0,那這樣的k是多少呢?找不到!無解!所以1/0是一個「不存在」的數(嚴格來說,既然不存在,它也不能被稱為數了)。

分子為零

那麼「分子為零」的狀況呢?假設0/0=k,可得知0=k×0(一樣因為除法是乘法的反運算),這下可不能說k不存在了吧?k不但存在,而且看起來還有無限多個解呢!可以是1,可以是0,也可以是√2。如果有個人告訴你說,他今年0/0歲,你能知道他已經成年了嗎?兩年後他又是幾歲?不知道。因此我們寫0/0這樣的一個符號出來,卻無法確定它代表什麼樣的數量,不但無法和別的數字比大小,也不能做運算。

總而言之,一個分母為零的分數,要嘛不存在,要嘛不確定代表哪個數量,那我們能拿它做什麼事嗎?不能。那這個符號出來有什麼意義嗎?沒有!所以分母為零無意義。
這個概念的延伸實際上可以和高中數學的其他部份做聯結,例如解聯立方程組的克拉瑪公式,或者極限的不定型式處理,學生如果知道分母為零的兩種不同狀況背後所代表的意義,對於上述這些題材將會有更深刻的理解。

註1:可參考何謂加法乘法反元素單位元素對照一下反元素反運算
註2:「數系的每一次擴張」:這句話可以理解為「在我們已經知道的數字中,加入新種類的數字」。如該段落所言,一開始我們只有正整數,後來因為發現正整數不夠用,於是加入「分數」,使得數系從「正整數(或稱自然數)」擴張為「有理數」。高中數學所學的「自然數」→「整數」→「有理數」→「無理數」→「複數」,每一個箭頭就是一種擴張

學習方法 – 108課綱物理新增章節 – 不確定度

各位剛升上高二的同學們!
如果有選修物理力學的,應該遇到”不確定度”這個章節了吧!
這是一個108課綱才放進去的概念,那麼跟我們國中學的測量值有什麼不同呢?

相信大家還有印象,國中所學的測量值,是根據儀器的最小刻度量出精確值以外,再往後增加一位的估計值。舉例來說,拿一把最小刻度1cm的尺來量測一隻鉛筆,筆尖剛好在第十格處,我們就會把測量值寫作10.0cm。

但是來到高中,同學們對於實驗科學的態度得更進階、更嚴謹。
請大家先記住一句話,凡是測量,必有誤差
以剛剛的例子來說,如果請其他同學來量測,筆尖還是剛好是在10cm處嗎?或者你用的尺真的準確到每一格都是1cm嗎?

好,如果測量必定有誤差,那代表你永遠不知道那支鉛筆的真實長度(一般稱作真值);而你不知道那隻鉛筆長度的真實長度,測量出來的結果跟真值的差距有多少,不就也不會知道嗎?

上面那段話如果覺得頭昏腦脹,那我們直接往下看重點。
既然我們知道測量必定有誤差,代表測量結果不能被肯定為真值
但是我們總可以對這個測量結果的確信程度打分數吧!?
這就是所謂的不確定度
如果不確定度越低,那就代表這個測量結果是越可信的。

國際標準化組織對於不確定度有A、B兩種分類。

A類不確定度

如果是採取統計分析這樣的方式來測量,就歸類為A類不確定度
假設今天採取甲乙兩組,每位成員量一枝鉛筆長度來取平均。

甲組五位同學,五個數據
9.6 , 10.2 , 10.4 , 9.7 , 10.3
平均10.07。

乙組三位同學,三個數據
15.4 , 8.4 , 5.8
平均 9.87。

可見乙組量出來的數據不僅樣本少,標準差還很大。
同學們有沒有覺得乙組量出來的數據比較不可信,不確定度比較高呢?

B類不確定度

B類不確定度是針對不是第一手資料而帶來的可信度差異,比如說從別人告知或其他資料得到的測量值,或者是估讀儀器數據由機器告訴你的測量值,這些方式當然都存在不確定度。舉例來說像同學們量體重,螢幕顯示的值是60kgw,但有沒有可能儀器將落在59.5到60.4之間其中的任意數都顯示為60kgw呢?既然測量值不可肯定,不確定度的概念是不是就顯現而出了?

這個章節內其實還有搭配著一些統計學的公式要計算,但老師還是認為同學們先弄懂概念跟原因,才能事半功倍,不管題型怎麼變化都能得心應手。

共價網狀固體的What – How – Why

What

非金屬原子和非金屬原子之間,利用共價鍵形成無限延伸的結構。

How

因為無限延伸,所以沒有分子式,看到的化學式皆為簡式(實驗式)
因為無限延伸,所以熔化的時候要打斷所有的共價鍵:熔點極高;大考出現過的共價網狀固體熔點皆有1000度以上。

Why

準備上建議從考古題出發,也就是直接整理學測和指考考過的共價網狀固體即可。

石墨/化學式為C

熔點極高,有3000多度,平面結構,可導電,有共振結構。

金剛石/化學式為C

熔點極高,有3000多度,立體結構,硬度高;鑽石就是特殊切割之後的金剛石。

石英/化學式為SiO2

熔點1000多度,立體結構,常見礦物,學名二氧化矽。

矽/化學式為Si

熔點1000多度,立體結構,類金屬,半導體產業原料。

碳化矽/化學式為SiC

熔點2000多度,立體結構,硬度高,俗名金剛砂。

因為熔點極高,所以以上的例子在常溫常壓下都是固體