學習方法 – 分母為何不可以是零?

分母(或者除數)不可以為零,可說是人盡皆知的常識。然而,當深入地問「為什麼分母不可以為零」?最多人的回答是「不知道,只知道老師說分母為零無意義」;好一些的回答則是「除法可以視為平分東西給人,而分給零個人無意義」。後者是學生在小學階段剛開始學習除法時用以理解除法含義的方式,這回答當然沒有錯。然而若再繼續往下問「那要如何解釋除以-2或者除以√3的意義」時,學生卻都回答不出來了。

筆者在這裡提供另外一個解釋方式,讓學生對於「分母為零無意義」這件事能夠有更深的體會。
首先我們要知道兩件事:

  1. 任何一個數字,例如√7、2/3或者log⁡5,都代表一個明確的「數量」
  2. 除法是乘法的反運算(註1)。

一個明確的「數量」?

人類的數字概念從正整數開始萌芽,隨著四則運算的逐步發展,開始發現正整數不足以表達生活中所有可能遇到的數量。例如六顆蘋果平分給三個人吃,我們知道每個人可以分到兩顆蘋果;如果吃完之後覺得不夠,再拿一顆西瓜出來平分,每個人能吃到多少西瓜?這個時候我們沒有任何整數可以表達這個數量了。但這個數量是明確存在的,而且我們很清楚它的大小。如果第二天我們再拿兩顆同樣大小的西瓜,平分給和第一天相同的三個人,我們知道每個人第二天吃的西瓜比第一天多,而且合起來每個人都吃了一顆西瓜。

  1. 這是一個明確的「數量」
  2. 這些數可以比大小,可以加減等運算。

於是我們使用1/3和2/3這兩個符號來表達這兩天每個人吃的西瓜數量。有理數就是這樣誕生的。事實上,數系的每一次擴張(註2),也都是伴隨著類似的過程。

回到原主題,如果分母為零,會發生什麼事呢?這要分成「分子不為零」和「分子為零」兩個部份來討論了。

分子不為零

首先我們看「分子不為零」的狀況。就以1/0來舉例吧,它應該是多少呢?假設1/0=k,由於除法是乘法的反運算,我們必須要使1=k×0,那這樣的k是多少呢?找不到!無解!所以1/0是一個「不存在」的數(嚴格來說,既然不存在,它也不能被稱為數了)。

分子為零

那麼「分子為零」的狀況呢?假設0/0=k,可得知0=k×0(一樣因為除法是乘法的反運算),這下可不能說k不存在了吧?k不但存在,而且看起來還有無限多個解呢!可以是1,可以是0,也可以是√2。如果有個人告訴你說,他今年0/0歲,你能知道他已經成年了嗎?兩年後他又是幾歲?不知道。因此我們寫0/0這樣的一個符號出來,卻無法確定它代表什麼樣的數量,不但無法和別的數字比大小,也不能做運算。

總而言之,一個分母為零的分數,要嘛不存在,要嘛不確定代表哪個數量,那我們能拿它做什麼事嗎?不能。那這個符號出來有什麼意義嗎?沒有!所以分母為零無意義。
這個概念的延伸實際上可以和高中數學的其他部份做聯結,例如解聯立方程組的克拉瑪公式,或者極限的不定型式處理,學生如果知道分母為零的兩種不同狀況背後所代表的意義,對於上述這些題材將會有更深刻的理解。

註1:可參考何謂加法乘法反元素單位元素對照一下反元素反運算
註2:「數系的每一次擴張」:這句話可以理解為「在我們已經知道的數字中,加入新種類的數字」。如該段落所言,一開始我們只有正整數,後來因為發現正整數不夠用,於是加入「分數」,使得數系從「正整數(或稱自然數)」擴張為「有理數」。高中數學所學的「自然數」→「整數」→「有理數」→「無理數」→「複數」,每一個箭頭就是一種擴張