學習方法 – 分母為何不可以是零?

分母(或者除數)不可以為零,可說是人盡皆知的常識。然而,當深入地問「為什麼分母不可以為零」?最多人的回答是「不知道,只知道老師說分母為零無意義」;好一些的回答則是「除法可以視為平分東西給人,而分給零個人無意義」。後者是學生在小學階段剛開始學習除法時用以理解除法含義的方式,這回答當然沒有錯。然而若再繼續往下問「那要如何解釋除以-2或者除以√3的意義」時,學生卻都回答不出來了。

筆者在這裡提供另外一個解釋方式,讓學生對於「分母為零無意義」這件事能夠有更深的體會。
首先我們要知道兩件事:

  1. 任何一個數字,例如√7、2/3或者log⁡5,都代表一個明確的「數量」
  2. 除法是乘法的反運算(註1)。

一個明確的「數量」?

人類的數字概念從正整數開始萌芽,隨著四則運算的逐步發展,開始發現正整數不足以表達生活中所有可能遇到的數量。例如六顆蘋果平分給三個人吃,我們知道每個人可以分到兩顆蘋果;如果吃完之後覺得不夠,再拿一顆西瓜出來平分,每個人能吃到多少西瓜?這個時候我們沒有任何整數可以表達這個數量了。但這個數量是明確存在的,而且我們很清楚它的大小。如果第二天我們再拿兩顆同樣大小的西瓜,平分給和第一天相同的三個人,我們知道每個人第二天吃的西瓜比第一天多,而且合起來每個人都吃了一顆西瓜。

  1. 這是一個明確的「數量」
  2. 這些數可以比大小,可以加減等運算。

於是我們使用1/3和2/3這兩個符號來表達這兩天每個人吃的西瓜數量。有理數就是這樣誕生的。事實上,數系的每一次擴張(註2),也都是伴隨著類似的過程。

回到原主題,如果分母為零,會發生什麼事呢?這要分成「分子不為零」和「分子為零」兩個部份來討論了。

分子不為零

首先我們看「分子不為零」的狀況。就以1/0來舉例吧,它應該是多少呢?假設1/0=k,由於除法是乘法的反運算,我們必須要使1=k×0,那這樣的k是多少呢?找不到!無解!所以1/0是一個「不存在」的數(嚴格來說,既然不存在,它也不能被稱為數了)。

分子為零

那麼「分子為零」的狀況呢?假設0/0=k,可得知0=k×0(一樣因為除法是乘法的反運算),這下可不能說k不存在了吧?k不但存在,而且看起來還有無限多個解呢!可以是1,可以是0,也可以是√2。如果有個人告訴你說,他今年0/0歲,你能知道他已經成年了嗎?兩年後他又是幾歲?不知道。因此我們寫0/0這樣的一個符號出來,卻無法確定它代表什麼樣的數量,不但無法和別的數字比大小,也不能做運算。

總而言之,一個分母為零的分數,要嘛不存在,要嘛不確定代表哪個數量,那我們能拿它做什麼事嗎?不能。那這個符號出來有什麼意義嗎?沒有!所以分母為零無意義。
這個概念的延伸實際上可以和高中數學的其他部份做聯結,例如解聯立方程組的克拉瑪公式,或者極限的不定型式處理,學生如果知道分母為零的兩種不同狀況背後所代表的意義,對於上述這些題材將會有更深刻的理解。

註1:可參考何謂加法乘法反元素單位元素對照一下反元素反運算
註2:「數系的每一次擴張」:這句話可以理解為「在我們已經知道的數字中,加入新種類的數字」。如該段落所言,一開始我們只有正整數,後來因為發現正整數不夠用,於是加入「分數」,使得數系從「正整數(或稱自然數)」擴張為「有理數」。高中數學所學的「自然數」→「整數」→「有理數」→「無理數」→「複數」,每一個箭頭就是一種擴張

讀書方法 – 淨離子反應式的What – How – Why (上)

What

去掉旁觀離子,留下來的真正參與反應的物質。

How

強酸、強鹼、強電解質是可以100%解離的
所以我們先將電解質整理一下,後面的舉例都先以學測範圍為主。
常見的強酸有鹽酸、硝酸、硫酸;弱酸有醋酸。
至於強鹼則有氫氧化鈉和氫氧化鉀;弱鹼有氨水。
那麼鹽的部分要怎麼判斷是不是強電解質呢?一個簡單的做法就是用沈澱表判斷:會沈澱的鹽就當作不會解離,不沈澱的鹽就當作100%解離

那我們以這個式子為例子

強酸強鹼

因為鹽酸是強酸、氫氧化鈉是強鹼、氯化鈉不沈澱:這三者當作100%解離。
水可以解離出氫離子和氫氧根,但是解離的量很少,就保持原樣。
於是我們的式子就變成這樣

淨離子反應式

進一步,我們刪去前後都出現的物質,這些被刪掉的物質我們稱做旁觀離子,意思是他們只在旁邊看,就像是沒有參與反應一樣。
在這個例子裡面,鈉離子和氯離子就是旁觀離子,我們來把他們刪掉。

重新整理得到

強酸強鹼的淨離子反應式

上面的式子就是淨離子反應式
那麼我們要怎麼理解這個式子呢?
在前面的What段落,我們提到淨離子反應式最重要的是,找出真正在反應的物質是哪些。
也就是在強酸和強鹼的反應之中,氫離子和氫氧根反應變成水才是真正在進行的化學反應。

我們可以將這個反應命名為強酸強鹼的淨離子反應式

Why的部分我們下次再談~

學習方法 – 易學難精的力學能守恆

高中物理的學習,重點不在於累積自己的解題量跟答對率,而是在於深入探討錯題的原因。

像是上週就有學生來問了這個問題:

兩木塊質量各為3kg5kg,懸於定滑輪兩側,如下圖所示,5kg的木塊起初是距離地面4m靜止,然後釋放,則質量3kg之木塊可達到的最大高度為何?

20200825

學生苦惱的點在於算出的答案跟解答不符,於是我問了他幾個問題:

我:「知道需要算出3kg木塊的末速嗎?」
學生:『知道,但是好像算的不對…』
我:「這題我們可以用系統減少的位能等於系統增加的動能來算,因為力學能守恆。」
我:「(m5-m3)gh=1/2 (m5+m3) v^2 這個式子有辦法理解嗎?」
學生:『好像可以,但為何要這樣做?』
我:「不然你寫一次你的算法給我看吧!」
學生:『(m5)gh=1/2 (m5) v^2 然後因為同繩子所以m5的末速跟m3一樣。』

我看到這個式子就立刻知道,這個學生雖然會列力學能守恆的算式。
但是對於力學能守恆的定義跟條件不嚴謹,於是我就回答他:

我:「力學能守恆必須滿足某一些條件才能用,你畫一下5kg木塊的力圖。」
我:「然後看一下木塊的上方有什麼。」

這個學生也很聰明,立刻就明白我在說什麼。
接下來就是對症下藥,我告訴他如果還要練習講義後面的題目,請全部都先做好力學能守恆的判斷再做題,這個盲點就能改善。
學生得到解決方案,很高興地回去練習了。

其實經由錯題找盲點這件事情,每個同學都能做;但是實際上找別人的問題很容易,找自己的問題最難!
尤其是透過冰冷的詳解或影片既費時又不精準,所以還是來找老師吧!

國文素養題 – 原來貓早已滲透

#高中國文#素養題#非選題#學測#指考
111學年度起,學測國文考科分為兩節施測,分別為綜合能力測驗,與寫作能力測驗,前者增加了混合題型,兼含選擇題與非選擇題。
以下為依據素養導向命題重點:「試題素材情境化」所設計的考題,歡迎小試身手!

[國文非選題組]
貓咪在古代被稱作「狸奴」,《清苑》也記載了其他別名:「又美其名曰玉面狸,曰銜蟬,又優其名田鼠將。」近年來,我們常稱愛貓人士為貓奴、鏟屎官,古人也不遑多讓,請依據以下詩作窺探「貓奴的世界」,並回答問題:

秋來鼠輩欺貓死,窺甕翻盤攪夜眠。聞道狸奴將數子,買魚穿柳聘銜蟬。
(黃庭堅〈乞貓〉)

裹鹽迎得小狸奴,盡護山房萬卷書。慚愧家貧資俸薄,寒無氈坐食無魚。
(陸游〈贈貓〉)

穿魚新聘一銜蟬,人說狸花量直錢。舊日畜來多不捕,於今得此始安眼。
牡丹影晨嬉成畫,薄荷香中醉欲顛。卻是能知在從息,有聲堪恨復堪憐。
(陳郁〈得狸奴〉)

似虎能緣木,如駒不伏轅。但知空鼠穴,無意為魚餐。
薄荷時時醉,氍毹夜夜溫。前生舊童子,伴我老山村。
(陸游〈得貓於近村以雪兒名之戲為作詩〉)

 

  1. 請問貍奴解決古人哪兩項困擾?
  2. 請問古人養貓時,會有哪些儀式?(兩種方法)
  3. 請問貍奴為何會呈現醉倒狀態?

(答案在圖片下方)
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1. 貍奴捕鼠解決老鼠夜間窺甕翻盤讓人難眠,以及啃書的困擾。
2. 古人以裹鹽、穿魚迎接貍奴。
3. 貍奴接觸到薄荷會「醉欲顛」。

學習方法 – 國文指考倒數一個月必練功力

640px-赤壁图片-用于中文维基百科咸宁市条目

#高中國文 #指考#學測
[指考國文衝刺班]
國文寫不完嗎?
選項出現的課文能馬上抓到要旨嗎?
長篇閱測,老師會告訴你如何略讀與精讀!

國文三十讀熟了嗎?
是否讀了又忘,讀了又忘?
因為你沒有順著作者的思路讀通文本!

舉赤壁賦為例:
第一段就是蘇軾和洞簫客喝酒泛舟於赤壁,在酒精催化之下,才會有飄飄然,好似在天上飛~「浩浩乎如馮虛御風,而不知其所止;飄飄乎如遺世獨立,羽化而登仙。」
但第二段洞簫客卻吹出悲傷的簫聲,為什麼呢?原來泛舟於赤壁,怎麼能不想起這裡曾有一代英雄的曹操,而今安在哉?洞簫客有感於「哀吾生之須臾,羨長江之無窮。」……你能串起後面各段的內容嗎?
(古人沒珍奶,請原諒他們飲酒為樂)
(喝酒不泛舟,泛舟不喝酒)

指考倒數一個月必練功力

  1.  看著課名就能回想重點(課文脈絡、重要字義)
  2. 指考各題型的作答訓練
  3. 閱測作答技巧與速度
  4. 文學史胸有成竹(韻文、非韻文、小說)

圖片取自維基百科,原網頁連結按此