學習方法 – 分母為何不可以是零?

分母(或者除數)不可以為零,可說是人盡皆知的常識。然而,當深入地問「為什麼分母不可以為零」?最多人的回答是「不知道,只知道老師說分母為零無意義」;好一些的回答則是「除法可以視為平分東西給人,而分給零個人無意義」。後者是學生在小學階段剛開始學習除法時用以理解除法含義的方式,這回答當然沒有錯。然而若再繼續往下問「那要如何解釋除以-2或者除以√3的意義」時,學生卻都回答不出來了。

筆者在這裡提供另外一個解釋方式,讓學生對於「分母為零無意義」這件事能夠有更深的體會。
首先我們要知道兩件事:

  1. 任何一個數字,例如√7、2/3或者log⁡5,都代表一個明確的「數量」
  2. 除法是乘法的反運算(註1)。

一個明確的「數量」?

人類的數字概念從正整數開始萌芽,隨著四則運算的逐步發展,開始發現正整數不足以表達生活中所有可能遇到的數量。例如六顆蘋果平分給三個人吃,我們知道每個人可以分到兩顆蘋果;如果吃完之後覺得不夠,再拿一顆西瓜出來平分,每個人能吃到多少西瓜?這個時候我們沒有任何整數可以表達這個數量了。但這個數量是明確存在的,而且我們很清楚它的大小。如果第二天我們再拿兩顆同樣大小的西瓜,平分給和第一天相同的三個人,我們知道每個人第二天吃的西瓜比第一天多,而且合起來每個人都吃了一顆西瓜。

  1. 這是一個明確的「數量」
  2. 這些數可以比大小,可以加減等運算。

於是我們使用1/3和2/3這兩個符號來表達這兩天每個人吃的西瓜數量。有理數就是這樣誕生的。事實上,數系的每一次擴張(註2),也都是伴隨著類似的過程。

回到原主題,如果分母為零,會發生什麼事呢?這要分成「分子不為零」和「分子為零」兩個部份來討論了。

分子不為零

首先我們看「分子不為零」的狀況。就以1/0來舉例吧,它應該是多少呢?假設1/0=k,由於除法是乘法的反運算,我們必須要使1=k×0,那這樣的k是多少呢?找不到!無解!所以1/0是一個「不存在」的數(嚴格來說,既然不存在,它也不能被稱為數了)。

分子為零

那麼「分子為零」的狀況呢?假設0/0=k,可得知0=k×0(一樣因為除法是乘法的反運算),這下可不能說k不存在了吧?k不但存在,而且看起來還有無限多個解呢!可以是1,可以是0,也可以是√2。如果有個人告訴你說,他今年0/0歲,你能知道他已經成年了嗎?兩年後他又是幾歲?不知道。因此我們寫0/0這樣的一個符號出來,卻無法確定它代表什麼樣的數量,不但無法和別的數字比大小,也不能做運算。

總而言之,一個分母為零的分數,要嘛不存在,要嘛不確定代表哪個數量,那我們能拿它做什麼事嗎?不能。那這個符號出來有什麼意義嗎?沒有!所以分母為零無意義。
這個概念的延伸實際上可以和高中數學的其他部份做聯結,例如解聯立方程組的克拉瑪公式,或者極限的不定型式處理,學生如果知道分母為零的兩種不同狀況背後所代表的意義,對於上述這些題材將會有更深刻的理解。

註1:可參考何謂加法乘法反元素單位元素對照一下反元素反運算
註2:「數系的每一次擴張」:這句話可以理解為「在我們已經知道的數字中,加入新種類的數字」。如該段落所言,一開始我們只有正整數,後來因為發現正整數不夠用,於是加入「分數」,使得數系從「正整數(或稱自然數)」擴張為「有理數」。高中數學所學的「自然數」→「整數」→「有理數」→「無理數」→「複數」,每一個箭頭就是一種擴張

指考數乙必考-信賴區間

信賴區間一直是指考數乙的寵兒,而且常以一題多選題8分呈現。今天以時事結合出個信賴區間在民調上的應用,也算是數學結合民主素養題吧!

[題目] 某民調公司對於這次COVID-19的防疫工作的滿意度調查:「…滿意度 6成 9。本次調查是以台灣地區住宅電話簿為抽樣清冊,並以電話的後四碼進行隨機抽樣。共成功訪問 1068 位台灣地區 20 歲以上民眾。在 95%的信心水準下,抽樣誤差為正負 3.0 百分點。」滿意度結果的呈現應該如何來解讀呢?我們提出以下兩問題:
問題一:「95%的信心水準」和「抽樣誤差正負幾個百分點」它們代表什麼意義呢?
問題二:電話只訪問了 1068 人,相對台灣近一千六百萬的成年民眾,這 1068 人具有代表性嗎?
問題三: 如果仍維持95%的信心水準,誤差降至2%,至少要抽要多少人?

學習方式 – 關於高三的進度和複習

各位剛考完模擬考的高三生辛苦了!
這次來聊聊高三的進度和複習吧!

準備模擬考游刃有餘

請把高三所有科目的進度都顧好,最好是所有科目都維持在60分以上:尤其是自然組,大一許多科目都和高三內容有大量的重疊,先念不吃虧;目標商學院的同學更是強烈建議要精進英文和高三數學;社會組其他科系則是可以先去找找考古題,念書念累了,就查查關鍵字或看看相關資料吧!先為明年的二階做準備。

中間程度的同學

可以先查看看想讀的科系,二階是否有筆試或是面試?有的話就要好好念高三與該科系最相關的科目,像是高三物理和數學就是一個基本檢定,看你適不適合電機系或是工學院;三類的話,要好好念生物和化學等等。

學校不教指考範圍!?

還有一個很特殊的狀況,就是學校高三進度完全不教,有的老師甚至會著恫嚇學生說指考很可怕,他們希望所有的學生在個人申請就有大學念。如果你也願意接受這樣的安排,那最好先有一個心理準備:未來選填志願時要非常謹慎,不能六個選擇都放理想的科系,在落點分析附近的,最多只能放四個,剩下兩個就得高分低就,把自己實力低一個階段的系所也放入志願裡,避免落榜的可能。